Течет река, растет дерево, движется по небосклону солнце... Все это процессы постепенные, непрерывные. Но мы знаем и множество других процессов. Вода в чайнике постепенно нагревается, а затем вскипает — жидкость превращается в пар, свойства ее резко меняются. Деревянная линейка в руках сначала гнется и вдруг ломается...
Впервые на это около 100 лет назад обратил внимание московский математик H. Бугаев. По его мнению, математика должна состоять из двух частей — математического анализа, с помощью которого удобно исследовать непрерывные процессы, и свода каких-то математических законов для исследования прерывных процессов. Эту часть Бугаев предложил назвать аритмологией.
Идеи не были признаны большинством современников ученого, не был найден тогда и соответствующий математический аппарат, однако время показало, что в рассуждениях русского математика было зерно истины.
Это подтвердил недавно французский математик Рене Тома.
Ему удалось создать математическую теорию катастроф, причем словом «катастрофа» Тома в данном случае обозначает любое скачкообразное изменение свойств изучаемого объекта. Теория позволяет описывать поведение многих исследуемых систем с помощью наглядных образов.
Вернемся к нашему примеру с линейкой. Пока мы прикладываем силу (управляющий параметр) перпендикулярно плоскости линейки, ее изгиб (внутренний параметр) меняется сначала плавно, а затем скачком. Эту зависимость можно выразить простым графиком. Но стоит нам усложнить модель, например, в качестве второго управляющего параметра выбрать переменный угол между плоскостью линейки и направлением силы, как зависимость сразу перестает быть такой уж простой. Теперь ее можно выразить только трехмерной поверхностью сложной формы.
Так вот, теория Рене Тома доказывает, что в зависимости от начальных условий катастрофа с линейкой, на которую действуют два управляющих параметра, представляется либо складкой на границе поверхности, либо вспучиванием. И все. Других типов катастроф не будет. При изучении одновременного действия 3, 4, 5 независимых переменных получаются 3-, 4-, 5-мерные поверхности, в которых возможно опять-таки строго определенное количество типов катастроф: соответственно 5, 7 или 11.
И специалисты поняли: несмотря на то, что теория Тома довольно сложна для понимания, ее результатами очень удобно пользоваться в ряде случаев. С ее помощью стали быстро и качественно решать задачи гидродинамики, сопромата, оптики, экономики...
Рисунки В. БАРЫШЕВА